La conjetura de Kepler
Lilian Edith Domínguez Montero
Doctorante del Posgrado Transdisciplinario Desarrollo Científico y Tecnológico para la Sociedad (DCTS)
lilian.d.montero@gmail.com
Sir Walter Raleigh (1554-1618) fue un marino, pirata, escritor y político inglés. Concibió el proyecto de colonizar América del Norte y el 9 de abril de 1585 parte del puerto inglés de Plymouth en el navío “El tigre”, en una expedición financiada por la reina Isabel I, fundando Virginia, la primera colonia. En la expedición viajaba Thomas Harriot (1560-1621) asistente de Sir Raleigh, matemático que trazó el primer mapa de dicha colonia y que sería conocido por ser el primero en utilizar los símbolos “mayor que”, >, y “menor que”, <, y descubrir la ley de los senos sobre la refracción de la luz.
Sir Raleigh se dirigió a Harriot para preguntarle si conocía algún método sencillo capaz de resolver un problema típico que se les presentaba en aquellos tiempos a los marinos de guerra. ¿Cuántas balas de cañón pueden apilarse en la cubierta de un barco utilizando el menor espacio posible? Harriot, incapaz de encontrar una respuesta matemática le escribió a Johannes Kepler (1571-1630), con quien mantenía correspondencia acerca de óptica.
Nace la conjetura
La principal problemática que tuvo Kepler ante el dilema planteado era que entre las esferas quedaban huecos. La primera opción era colocar una capa de esferas tan juntas como fuera posible y encima colocar otra capa idéntica, esta forma de distribución se conoce hoy en día como red cúbica simple. Posteriormente mejoró esta disposición partiendo de la misma capa inicial pero la siguiente capa era colocada en los huecos que formaban las cuatro esferas debajo, esta disposición recibe el nombre de red cúbica centrada.
En 1611, le contestó a Harriot, pero no en forma matemática, sino afirmando que “al igual que los fruteros colocan sus frutas (aludiendo al ejemplo específico del acomodo de las naranjas), la sabiduría centenaria indicaba que el sistema más adecuado era el del apilamiento en forma de pirámide” surgiendo lo que se conoce hoy como la conjetura de Kepler.
Las aportaciones de Carl F. Gauss y David Hilbert
A principios del siglo XIX el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855), quien había sido capaz de dar una explicación adecuada al concepto de número complejo, consideró para la conjetura de Kepler empaquetamientos reticulares, aquellos en los que las esferas forman un retículo (conjunto parcialmente ordenado). En 1831 demostró que estos son de mayor densidad en el plano y en el espacio respectivamente, pero la mayoría de los empaquetamientos no son reticulares.
En agosto de 1900, el matemático alemán David Hilbert, en el II Congreso Internacional de Matemáticas dio un discurso donde señaló los 10 problemas más interesantes y futuros de las matemáticas, pero al concluir el congreso fueron señalados 23. La conjetura entró como el problema número 18 que lleva por título “Construcción del espacio de los poliedros congruentes”.
Resolución definitiva
El matemático húngaro László Fejes Tóth dio, en 1953, un paso gigantesco al reducir el problema a una serie finita de cálculos para un determinado volumen de casos específicos. Planteaba la división del espacio en celdas de Voronoi; calculaba varios promedios del volumen de las celdas y si uno de los promedios era mayor que el volumen del dodecaedro rómbico, entonces la conjetura quedaba comprobada. El dodecaedro rómbico es un poliedro que, al igual que el cubo, sólo puede rellenarse con la misma figura.
Sin embargo, László Tóth se dio cuenta que aunque había reducido la conjetura a un número finito de variables, no podía demostrarla, siendo el primero en sugerir que las computadoras podrían ayudar a la resolución del problema.
En 1998, el científico estadounidense Thomas Hales, de la Universidad de Pittsburgh, ayudado por su alumno de doctorado Samuel Ferguson, tradujo las ideas planteadas por Tóth y formularon una ecuación de 150 variables que describía los 5 mil posibles agrupamientos de esferas concebibles, solucionando cada caso por sistemas de programación lineal, lo que significó el uso de sofisticadas técnicas informáticas con la resolución individualizada de más de 100 mil problemas de programación lineal en los que cada uno incluía entre 100 y 200 variables, y de mil a 2 mil restricciones. Esto le llevó 10 años de investigación y la demostración del problema está plasmada en 250 páginas y tres gigabytes de datos y códigos.
Tras cinco años de revisión de la demostración hecha por 12 científicos de reconocido prestigio, los especialistas indicaron que, aunque un 99 por ciento de la investigación de su demostración matemática era correcta, el porcentaje restante era imposible de verificar. En noviembre de 2005, la parte teórica de la conjetura se publicó en la revista Annals of Mathematics, mientras que el programa informático apareció en una revista especializada en computación: Discrete and Computational Geometry.
Actualmente la ayuda de la computadora y los programas informáticos han facilitado la demostración de varios problemas matemáticos como el teorema de los cuatro colores y la demostración de Hale, ya que los cálculos imposibles de ejecutar detalle a detalle a mano se realizan en un menor tiempo.
A pesar de ello, la comunidad matemática se encuentra dividida entre los que aceptan las pruebas y quienes las rechazan, ya que se prefieren las demostraciones que teóricamente puedan ser comprobadas por los interesados, es por ello que la demostración de la conjetura de Hales no es totalmente aceptada.
Así, en enero de 2003 Hales anunció el inicio de un proyecto de colaboración para producir una demostración formal completa de la conjetura de Kepler. El objetivo es eliminar cualquier duda restante sobre la validez del problema mediante la creación de una prueba formal que puede ser verificada por el software. Este proyecto se llama flyspeck y Hales estima que la producción de una prueba formal completa tomará alrededor de 20 años de trabajo.
Referencias
La conjetura de Kepler, disponible en http://laaventuradelaciencia.blogspot.mx/2012/05/la-conjetura-de-kepler.html, consultado el 1 de mayo 2013
Kepler’s Conjecture, disponible en http://www.math.sunysb.edu/~tony/whatsnew/column/pennies-1200/cass1.html, consultado el 1 de mayo 2013
Cannonballs and Honeycomb: Gauss, disponible en http://www.math.pitt.edu/articles/gauss.html, consultado el 1 de mayo 2013
La conjetura de Kepler, un problema de optimización del siglo XVII con aplicaciones en el siglo XXI, disponible en http://www.educa2.madrid.org/web/educamadrid/principal/files/34b0304e-7fce-4b92-875e-b0c7711e9926/RECURSOS/CURSOS/CIENCIAS/MATEMATICA/ANALISIS/0.3.pdf?t=1352402550541, consultado el 1 de mayo de 2013