Investigadores ha estudiado la solución al problema matemático de Kirchhoff-Plateau, ilustrado simplemente mediante pompas de jabón que abarcan bucles flexibles.

Más allá de su valor para entretener, las pompas de jabón son ejemplos físicos del rico problema matemático de las superficies mínimas: asumen la forma de la menor superficie posible, conteniendo un volumen dado.

«Nuestra solución del problema de Kirchhoff-Plateau trae bellos resultados matemáticos cerca de lo que ocurre en el mundo físico», dice Giulio Giusteri, coautor del artículo que publicado en el Journal of Nonlinear Science. Giusteri trabajó con el profesor Eliot Fried, matemático del OIST y Luca Lussardi de la Università Cattolica del Sacro Cuore en Italia.

La pregunta respondida por el equipo es una variante del «problema de Plateau», un problema matemático de siglos de antigüedad, llamado así por Joseph Plateau, físico belga del siglo XIX. Plateau plantea la hipótesis de que cuando se sumerge un marco de alambre rígido en una solución de jabón, la superficie de la película de jabón formada en el marco representa un área matemáticamente posible mínima, sin importar la forma del marco.

La primera solución satisfactoria para el problema de Plateau fue proporcionada en el siglo 20 por el matemático estadounidense Jesse Douglas, para el cual fue galardonado con la Medalla Fields en 1936. Más recientemente, en 2014, la profesora Jenny Harrison de UC Berkeley extendió el trabajo de Douglas, proporcionando una prueba válida bajo hipótesis generales que abarcan, por ejemplo, situaciones en las que las uniones están presentes donde múltiples películas de jabón se encuentran entre sí.

En contraste con el problema de Plateau en el que una película de jabón abarca un marco fijo, el problema de Kirchhoff-Plateau se refiere a las formas de equilibrio de las películas de jabón que abarcan bucles flexibles, –por ejemplo, un sedal de pesca– que se pueden describir usando la teoría de Kirchhoff Varillas, un modelo que proporciona un acercamiento de gran alcance para estudiar la estática y la dinámica de las barras elásticas finas.

La complicación es que un bucle flexible puede cambiar de forma en respuesta a la fuerza ejercida por la película de jabón. Como tal, una solución al problema requiere determinar no sólo la forma de la película de jabón, sino también la forma del bucle delimitador. Por el contrario, la forma de la frontera en el problema original de Plateau es conocida porque está hecha de alambre rígido que permanece fijo contra las fuerzas relativamente débiles de la película de jabón.

Una complicación adicional asociada con el problema de la Kirchhoff-Plateau es que, a diferencia del problema original de Plateau, en el que se supone que el límite es unidimensional, una barra de Kirchhoff es un objeto tridimensional.

Aunque los filamentos de sedal son delgados, son órdenes de magnitud más gruesos que una película de jabón en equilibrio, lo que significa que el área de la película de jabón puede cambiar dependiendo del punto en el que la película entra en contacto con el bucle.

Los investigadores tradujeron con éxito todos estos efectos físicos en términos matemáticos. Como explica Fried en un comunicado: «No importa cuán fuerte sea la competencia entre la tensión superficial de la película de jabón y la respuesta elástica del bucle, el sistema siempre es capaz de ajustarse para lograr una configuración de menor energía».

La solución al problema de Kirchhoff-Plateau no sólo contribuye a la comprensión de la energía minimizando las formas matemáticas, sino que también puede aplicarse a los sistemas biológicos. Por ejemplo, podría ayudarnos a entender cómo la forma de una proteína determina cómo interactúa y se une a una superficie.

El equipo ahora está trabajando en simulaciones por computadora que, basadas en este modelo matemático, pueden predecir el comportamiento de sistemas físicos.

Fuente: Europa Press