Desde que la humanidad comenzó a hacerse preguntas acerca del mundo que le rodeaba, ha habido una rama científica siempre presente: la matemática. Hoy en día muchísima gente la encuentra como algo poco útil o aburrida, pero nada más lejos de la realidad. De hecho, con una matemática bastante sencilla y con mucho ingenio nuestros antiguos llegaron a calcular ciertas magnitudes físicas que mucha gente hoy en día ni siquiera podrían ni imaginar. Para esta entrada para el Carnaval de las Matemáticas, organizado por Tito Eliatron, vamos a ver dos de estos hitos matemáticos logrados por la humanidad hace ya milenios: el cálculo del radio de la Tierra y el cálculo de la distancia y el tamaño de la Luna.

Cálculo del radio de la Tierra

Corría el siglo III a.C. cuando el filósofo, astrónomo y matemático Eratóstenes ideó un método para el cálculo del radio de la Tierra, basado en la trigonometría. El día elegido para la medición a partir de la cuál obtener los datos necesarios fue al mediodía de un solsticio de verano. Por los manuscritos de su biblioteca, Eratóstenes sabía que en Siena (actualmente Asuán) los objetos no proyectaban sombra al mediodía del solsticio de verano; es decir, la ciudad se encuentra en el Trópico de Cáncer. Esto se debe a que los rayos del Sol inciden de forma perpendicular a la superficie y por tanto, la sombra está justo debajo del objeto: no hay proyección visible. Uno de sus sirvientes se desplazó a Siena para realizar la comprobación, mientras que él se quedaba en Alejandría para hacer el mismo experimento allí. El resultado: en Alejandría, a la misma hora, los objetos sí que proyectaban una pequeña sombra.

Dicha proyección era de algo más de 7 grados. Suponiendo ahora que los rayos del Sol que llegan a la Tierra son paralelos y que Siena y Alejandría están en la misma longitud (distan tan solo 3º), y sabiendo la distancia entre las dos ciudades era sencillo llegar a calcular el radio terrestre. Existen diferentes historias sobre cómo sabía Eratóstenes la distancia entre ambas ciudades, como que envió a un sirviente contando los pasos, o que usó la estimación de las caravanas de comercio; pero lo realmente importante es que tenía un valor de 5000 estadios (785 km). También existe discrepancia en la longitud de un estadio ya que la definición es diferente para un estadio de 185 metros o el estadio egipcio de 157 metros, pero eso es lo de menos. Lo que está claro es que dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250000 estadios (39250 km) de la forma siguiente:

• Tenemos que para 7 grados, la distancia es de 5000 estadios.
• 7 grados entra 50 veces en 360 grados que es la circunferencia completa.
• Así pues, si multiplicamos 5000 estadios por 50 tendremos el perímetro de la circunferencia. El perímetro es 250000 estadios.
• Para hallar el radio sólo deberemos dividir el perímetro entre 2π. Por tanto el radio es 39800 estadios, o lo que es lo mismo casi 6250 km.

Hoy en día sabemos que el radio medio de la Tierra es de 6371 km, por lo que el error cometido por Eratóstenes fue de tan solo 120 km: algo menos de un 2%. Esto es todo un logro para realizar un cálculo tan preciso de una forma tan aparentemente rudimentaria.

Cálculo de la distancia y el tamaño de la Luna

El siguiente hito es el de la medición de la distancia y el tamaño de nuestra Luna. El autor fue Aristarco de Samos, también astrónomo y matemático griego, en el siglo III a.C.. Para ello utilizó también una trigonometría bastante sencilla, pero con unos resultados sorprendentemente precisos.

Todo comenzó con la observación de un eclipse lunar. Aristarco determinó que el tiempo que tardaba la Luna en ocultarse por la sombra que proyectaba la Tierra durante el eclipse era aproximadamente la mitad del tiempo que duraba dicho eclipse. Así pues, el diámetro de la sombra era unas dos veces el diámetro de la Luna. Otra cosa que determinó es que la Luna tardaba alrededor de una hora en salirse de la sombra de la Tierra, de donde se deduce que la Luna recorre en una hora una distancia equivalente a su propio diámetro.

Por otro lado, se sabía que nuestro satélite tarda 29,5 días en completar una órbita alrededor de la Tierra, por lo que es sencillo demostrar que la órbita de la Luna es de 708 diámetros lunares. Y por trigonometría sencilla, estimó la distancia de la Tierra a la Luna en 225,4 radios lunares.

De la figura superior, Aristarco calculó mediante trigonometría que el radio de la Tierra es 2,85 veces el radio de la Luna, cuando el resultado es de 3,66 veces. Sabiendo el radio, calculó sencillamente la distancia Tierra-Luna aplicando el resultado anterior de que esta distancia eran 225,4 radios lunares. El resultado que obtuvo fue de 79 veces el radio de la Tierra, cuando hoy en día sabemos que la distancia a la Luna es de unos 60 radios terrestres.
Aristarco también trató de calcular la distancia de la Tierra al Sol, pero fracasó en su intento, dando un resultado (19 veces la distancia de la Tierra a la Luna) completamente erróneo.

Como podéis ver, los resultados de Aristarco son algo peores en cuanto a precisión que los de Eratóstenes, pero lo cierto es que en ambos casos es sorprendente como el ingenio humano puede llegar a resolver problemas tan complejos como el saber el radio de nuestro planeta o la distancia a la que se encuentra nuestra Luna y lo grande que es. Y lo que es más importante: son dos hitos matemáticos que se dieron en el siglo III a.C. aplicando una matemática completamente básica.

Fuente wisphysics.es