Ernesto Lupercio Lara
Departamento de Matemáticas
La academia sueca de ciencias anunció que el Premio Nobel de Física 2016 fue otorgado a David Thouless (Bearsden, Reino Unido, 1934), Duncan Haldane (Londres, Reino Unido, 1951) y Michael Kosterlitz (Aberdeen, Reino Unido, 1942) por “descubrimientos teóricos sobre transiciones topológicas de fase y fases topológicas de la materia”.
Las fases de la materia más comunes son la fase sólida, líquida y gaseosa. Pero hay otras fases de la materia a las cuales estamos menos acostumbrados, por ejemplo, a altas temperaturas tenemos los plasmas. En todas estas fases, los átomos de la materia están en constante movimiento aleatorio, de tal manera que podemos ignorar a la física cuántica en su descripción, dado que los efectos cuánticos son tan pequeños que dicha vibración térmica los hacen insignificantes.
La física cuántica habla de fenómenos que tradicionalmente son relevantes sólo en el mundo de lo atómico. En el mundo macroscópico, los efectos cuánticos son con frecuencia tan débiles que es mejor simplemente ignorarlos. En la vida cotidiana no podemos observar a simple vista los efectos cuánticos (o eso creímos por algún tiempo).
Sin embargo, a muy bajas temperaturas (cerca de los -273 grados Celsius), nuevos estados de la materia se manifiestan y, para nuestro asombro, los efectos cuánticos se hacen visibles en observaciones macroscópicas. Los nombres de algunos de estos fenómenos son: superconductividad (desaparición de la resistencia eléctrica en algunos materiales, Kamerling Onnes, Nobel 1913), superfluidez (desaparición de la fricción, Pyotr Kapitsa, Nobel 1978).
Otro fenómeno que nos es familiar a todos es el de transición de fase, fenómeno que observamos cuando un trozo de hielo se derrite en la mesa (transición del estado sólido al líquido) o cuando vemos hervir el agua para los espaguetis (transición del líquido al gaseoso). Con más fases de la materia (algunas sólo posibles debido a las leyes de la física cuántica) es de esperarse que haya más transiciones de fase. En estas transiciones de fase (que ocurren a muy bajas temperaturas), las fases están definidas a veces por su naturaleza topológica.
La topología estudia las propiedades de modelos geométricos que no cambian cuando estos objetos se deforman por lo que, a veces, se le conoce como la geometría de los objetos de hule. Por ejemplo, si consideramos un mapa pintado en una hoja de hule en vez de en una hoja de papel, el mapa entonces se podrá deformar con facilidad. Si contamos el número de países en el mapa de hule antes de deformarlo y, una vez deformado, los volvemos a contar, el número de países en el mapa deformado es exactamente igual al número de países antes de haberlo deformado: no ha cambiado; el número de países es un invariante topológico.
Un segundo ejemplo (muy relevante para el trabajo de los premiados de este año), es el de la característica de Euler. Consideremos un cubo. Si contamos sus vértices (V=8), sus aristas (A=12) y sus caras (C=6) y definimos la característica de Euler como el número V+C-A, entonces, para el cubo C, tenemos que su característica de Euler es
e = V+C-A = 8+6-12 = 2,
en tanto que, si repetimos el cálculo para la pirámide P, obtenemos:
e = V+C-A = 4+4-6 = 2.
Si repetimos el cálculo una vez más para un balón de fútbol, contando sus vértices, caras y aristas, obtendremos una vez más, 2.
Parecería que la respuesta siempre es 2, pero no es así. Si hacemos el cálculo para la superficie de una dona hecha de adoquines triangulares, la respuesta es 0 y no 2 como antes. Y la respuesta siempre será 0 para la superficie de una dona (que los topólogos llaman toro) sin importar el número de triángulos que se utilicen para formar al toro. Por eso, es tan importante restar el número de aristas. En efecto, mientras más triángulos se utilicen, más crece V+C, pero también crece A, dejando la diferencia constante. En el caso del toro V+C siempre es igual a A.
Un resultado importante de la topología en dimensión dos establece que las superficies orientadas están completamente clasificadas hasta por equivalencia topológica (es decir, hasta por estiramientos arbitrarios del material de hule) por su característica de Euler e. En la figura de al lado vemos tres superficies topológicamente distintas con sus respectivas características de Euler.
Ahora imaginemos una esfera peluda: una esfera cubierta de un fino pelaje rojo. Un teorema clásico de la topología establece que sea cual sea la manera en que peinemos la esfera siempre quedará al menos un remolino. En el dibujo de al lado, hemos peinado a la esfera con dos remolinos; cada remolino (llamado vórtice en lo sucesivo) tiene carga positiva +1. El teorema de Poincaré-Hopf dice que la suma de la carga de los vórtices es igual a la característica de Euler. Este sorprendente hecho relaciona la forma topológica de la esfera con la carga total de los vórtices es el sistema bidimensional cuántico a bajas temperaturas en la superficie de la esfera.
Es importante hacer notar que si cambiamos los vórtices (el modo de peinar la esfera), la suma de las cargas no cambia: siempre es igual al invariante topológico.
Concluyamos nuestra breve excursión a la topología notando que la característica topológica de Euler e siempre es un entero y, por lo tanto, la lista de objetos topológicos no varía continuamente. Si transformamos una esfera en un toro (procedimiento conocido por los topólogos como cirugía), el cambio es abrupto (como en los cambios de fase). Este cambio abrupto de esfera en toro se llama un cambio topológico de fase en física.
A principio de la década de los 70, David Thouless y Michael Kosterlitz descubrieron juntos la llamada transición BKT (Vadim Berezinskii tuvo ideas relacionadas en Moscú), una transición topológica de la materia. La transición BKT ocurre sobre un estado topológico de la materia (en dimensión 2, a bajas temperaturas); dicho estado está determinado por las cargas topológicas de sus vórtices. Aunque se pueden escribir ecuaciones muy complicadas para el estado macroscópico de la membrana delgada a partir de las leyes de la física cuántica para entender la fase de la materia, lo importante es la carga topológica (algo que puede ser difícil recordar, pues las ecuaciones son locales y el efecto cuántico resultante es global, como e). La introducción de ideas topológicas al estudio de estados artificiales de la materia fue una gran sorpresa para los físicos y rompió en su momento el paradigma reinante.
En la década de los 80, Thouless estudió exitosamente el misterioso efecto Hall cuántico, efecto en el cual las mediciones tienen resultados muy precisos que saltan abruptamente, usando el concepto de fluido cuántico topológico. El motivo de las variaciones precisas y abruptas era nuevamente topológico. Por su parte, Haldane demostró que los fluidos cuánticos topológicos pueden formarse en capas semiconductoras incluso sin la presencia de campos magnéticos fuertes, basándose en su trabajo previo sobre existencia de materiales topológicos de dimensión uno con cadenas de átomos magnetizados.
Todos los ganadores del Premio Nobel de Física de este año padecieron la desconfianza y el escepticismo de la comunidad científica cuando hicieron sus propuestas iniciales: Thouless dice que continuó por curiosidad; Kosterlitz, que se atrevió gracias a la ignorancia y, a Haldane, de plano, al principio, no le creían. En esta historia, Haldane demostró escepticismo incluso hacia sí mismo: en 1988, Haldane propuso un estado topológico de la materia escribiendo en su artículo que “es poco probable que el modelo particular aquí presentado sea directamente realizable físicamente”; sin embargo, en 2014, un equipo dirigido por Tilman Esslinger realizó un experimento en donde se presentó físicamente este estado.
Los tres ganadores del Premio Nobel de Física de este año son británicos y abandonaron su país durante la década de los 80, cuando el gobierno de Margaret Tatcher redujo drásticamente los presupuestos de las universidades británicas.
En el Departamento de Matemáticas del Cinvestav existe un grupo que estudia la relación entre la física cuántica y la topología.
Fuente: Revista Avance y Perspectiva